求非齐次线性方程组｛x1+x2+3x3-x4=1,3x1-x2-3x3+4x4=4,x1+5x2+9x3-8x4=0}的通解

x 后面的是下标，不是次方，否则不是线性方程组。

增广矩阵 （A, b) =
[1 1 3 -1 1]
[3 -1 -3 4 4]
[1 5 9 -8 0]
初等行变换为
[1 1 3 -1 1]
[0 -4 -15 7 1]
[0 4 6 -7 -1]
初等行变换为
[1 1 3 -1 1]
[0 4 15 -7 -1]
[0 0 -9 0 0]
初等行变换为
1 1 0 -1 1]
[0 4 0 -7 -1]
[0 0 1 0 0]
r(A,b) = r(A) = 3 < 4, 方程组有无穷多解。
方程组同解变形为
x1+x2 = 1+x4
4x2 = -1+7x4
x3 = 0
令 x4 = -1, 得特解 (2, -2, 0, -1)^T,
导出组为
x1+x2 = x4
4x2 = 7x4
x3 = 0
令 x4 = 4, 得基础解系 (-3, 7, 0, 4)^T，
则通解是 x = (2, -2, 0, -1)^T+k (-3, 7, 0, 4)^T