1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，
所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；
2）△OMN是等腰直角三角形。
证明：连接OA，如图，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，
AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，
∴△NAO≌ △MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
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