“怎么想到”是数学上的根本问题。一般是观察、分析、归纳(试算)、猜测、类比等等推理出来的，这些推理都不是必然正确，但是可以启发。得到猜想之后，再进行精确的证明。这个叫做“数学的探索”。美国数学家G.波利亚，有过很好的阐述，可以看看他的著作的中译本。
我们改一种写法：
x（n+1）=√（a+xn）
xn=√（a+x（n-1））
x（n-1）=√（a+x（n-2））
......
x2=√（a+x1）=√（a+√a）
后面的式子逐个代入前式得到：
x（n+1）=√（a+√（a+√（a+.....+√（a+√a）....），共n+1个a
xn=√（a+√（a+√（a+.....+√（a+√a）....），共n个a，
n趋近于无穷大，上面两式都有无穷多个a，没有差别，相等，设其极限为y,应该是正数：
x（n+1）=√（a+xn），取极限：
y=√（a+y）
y²=a+y，y²-y-a=0
y=[1+√（1+4a）]/2
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