已知函数 f(x)=lnx，g(x)= a x (a＞0) ，设F（x）=f（x）+g（x）（1）求F（x）的单调区间；（2

2025-05-09 17:14:20

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回答1：

（1） F(x)=f(x)+g(x)=lnx+

(x＞0) ， F ′ (x)=

x 2

x-a

x 2

(x＞0) ．（2分）
因为a＞0由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），所以F（x）在上单调递增；由F′（x）＜0?x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．（5分）
（2） F ′ (x)=

x-a

x 2

(0＜x≤3)，k= F ′ ( x 0 )=

x 0 -a

x 0 2

≤

(0＜ x 0 ≤3) 恒成立，（7分）
即 a≥(-

x 0 2 + x 0 ) max ，当x₀ =1时取得最大值

．所以， a≥

，所以 a min =

．（10分）
（3）因为x≥e，所以 xlnx≥ax-a?a≤

xlnx

x-1

，令 h(x)=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞) ，则 h ′ (x)=

x-lnx-1

(x-1) 2

．（12分）
因为当x≥e时， (x-lnx-1 ) ′ =1-

＞0 ，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，
所以h′（x）＞0，所以 h(x ) min =h(e)=

e-1

，所以0＜ a≤

e-1

．（16分）