如何解释圣彼得堡悖论

掷硬币，若第一次掷出正面，你就赚1元。若第一次掷出反面，那就要再掷一次，若第二次掷的是正面，你便赚2元。若第二次掷出反面，那就要掷第三次，若第三次掷的是正面，你便赚2*2元……如此类推，即可能掷一次游戏便结束，也可能反复掷没完没了。问题是，你最多肯付多少钱参加这

圣彼得堡悖论

（n为硬币投掷次数）

设定掷出正面（或反面）为成功。游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第n次投掷成功，得奖金2的n次方，游戏结束。

按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。随着n的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为1，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为「无穷大」。
仅仅考虑玩家收益的期望值的话，即假如玩家希望实现自己的收益最大化，只要能够参加游戏，付出多少钱都是可以接受的。

按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。正如耶恩·哈金（Ian Hacking）于1980年所说：「没有人愿意花25元去参加一次这样的游戏。」[1]这就出现了计算的期望值与实际情况的「矛盾」，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？

圣彼得堡悖论的提出已有200多年了，所提出的消解方法大致可以归纳为以下几种观点：

边际效用递减论

风险厌恶论

效用上限论

结果有限论
结果呢？没个卵用。

我们要认识到，悖论问题的实质是人类自身思维的矛盾性。从广义上讲，悖论不仅包括人们思维成果之间的矛盾，也包括思维成果与现实世界的明显的矛盾性。所以，悖论作为人类思维系统的一种矛盾形式，它的消解必须从人们思维系统自身的矛盾性和不完善性着手，需要人类战胜和超越自己。历史上随着一次一次的悖论的消解，更完备的公理系统被提出，人类的思维和科学系统得到完善，科学得到进一步的发展；圣彼得堡悖论也是如此。以上四种消解方法均避开了问题本质，没有触及人们的思维系统，但是这些努力使我们认识到仅从实际出发是不能解决问题的，而最合理的解释就是——保留期望值的定义，调整我们的思维。当我们这样做的时候，圣彼得堡悖论就不再是一个悖论了！

圣彼得堡悖论的根源在于样本均值与总体均值的差异，以及我们对于「无穷大」的理解。根据伯努利大数定律，当样本容量N趋近于无穷时，样本均值依概率收敛于其期望值。但对于这里的「无穷」，我们平时的「大小」概念已经不能适用了。涉及无穷大概念比较的时候，就需要用相应的比较方法。圣彼得堡游戏的结果集合是一个无穷集合，而实际实验的样本是一个有穷集合，它们是不能用现有的办法比较的。

因此，这一悖论的出现并非是由于我们的计算方法的缺陷。我们需要承认它的期望值是无穷大；而实际上它的均值又不可能是无穷大，由于试验次数没有办法达到真正意义上的「无穷大」，它们之间的差异是必然存在的。

用电脑进行模拟试验的结果说明，实际试验的平均值——样本均值是随着实验次数的增加而变化的。在大量实验以后，其实验均值X可以近似表示为，可见当实验次数趋向无穷大的时候，样本均值也趋向无穷大。比如100万、即次实验的平均值等于，即样本均值为20元左右；要样本均值达到1000元，实验次数就要达到次，这时候有可能出现的最高投掷次数约为1000次左右，相应的最高赔付金额为，已经达到了天文数字了。在实验次数趋向无穷大的时候，收益趋向于无穷大的速度慢多了。

所以说，转变我们的观念，圣彼得堡悖论便不再是悖论。期望在硬币投掷次数n不设上限的时候为无穷大，可是样本均值也在随着实验次数N的增加而趋向无穷大啊。为什么因为样本均值会向总体均值收敛就认为这二者之间的差距一定要很小呢？再大也不是无穷大，只要最终收敛不就好了吗？因此，只要认识到我们思考方式中的缺陷或矛盾，圣彼得堡悖论便不再是悖论。