我酒我酒 > 数学分析问题设函数f(x)在[a,b]单调，且f(x)取到f(a)与f(b)中间的所有的数，则f(x)在[a,b]连续.

数学分析问题设函数f(x)在[a,b]单调，且f(x)取到f(a)与f(b)中间的所有的数，则f(x)在[a,b]连续.

2025-05-10 00:52:56

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回答1：

分析：首先，你要知道连续的定义是什么。
函数f(x)在x0点处连续，当且仅当，对任意ε>0，存在δ>0，使得|f(x)-f(x0)|<ε，只要0<|x-x0|<δ
而函数f(x)在[a,b]上连续，只要对任意x0属于[a,b]，以上条件都成立即可。
用反证法：
证明：若f(x)在[a,b]上不连续。即存在x0，使得存在ε>0，对任意δ>0，当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|>ε，
因为函数f(x)在[a,b]单调，不妨设f(x)在[a,b]上单调递增。
那么，在x0的空心邻域上，有f(x)>f(x0)+ε或f(x)f(x0-δ)，与单调递增矛盾，若c属于[x0+δ,b]，则f(c)所以f(x)在[a,b]中连续。

数学分析问题 设函数f(x)在[a,b]单调，且f(x)取到f(a)与f(b)中间的所有的数，则f(x)在[a,b]连续.

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