在正方形里有一点P,AP=a,BP=2a,CP=3a,求正方形的边长，利用初中知识来解。

解：

将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ

因为△BAP≌△BCQ

所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC

因为四边形DCBA是正方形

所以∠CBA＝90°

所以∠ABP＋∠CBP＝90°

所以∠CBQ＋∠CBP＝90°

即∠PBQ＝90°

所以△BPQ是等腰直角三角形

所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45

因为PA=a，PB=2a，PC=3a

所以PQ＝2√2a，CQ＝a

所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2

所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2

所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°

所以∠BQC＝90°＋45°＝135°

所以∠BPA＝∠BQC＝135°

作BM⊥PQ

则△BPM是等腰直角三角形

所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a

所以根据勾股定理得：

AB^2＝AM^2＋BM^2

＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2

＝[5＋2√2]a^2

所以AB＝[√(5＋2√2)]a

先把图画出来，然后过P分别向AB和BC作高，垂足分别为E、F，设PE为h1，PF为h2，正方形的边长为x，那么根据勾股定理可以列出如下方程组：

h1^2+h2^2=4a^2 ①

h1^2+(x-h2)^2=a^2 ②

h2^2+(x-h1)^2=9a^2 ③

由方程1可得h1^2=4a^2-h2^2及h2^2=4a^2-h1^2，分别代入方程2和3，可以消去h1和h2的二次项，然后化简可得：

h1=(x^2-5a^2)/2x，h2=(x^2+3a^2)/2x。

将这两个式子代入方程1，化简后可得：

x^4-10a^2 x^2+17a^4=0

(x^2-5a^2)^2=8a^4

x^2-5a^2=2√2 a^2或5a^2-x^2=2√2 a^2

x^2=(5+2√2)a^2或(5-2√2)a^2

x=√(5+2√2)a或√(5-2√2)a

连接AC，由于P点在正方形内，所以无论怎么样与顶点连接，其长度都不可能超过对角线的长度，所以我们可以得：AC=√2x>3a，即x>3√2a/2，a+2a=3a>x，只有x=√(5+2√2)a满足条件，所以最后的结果就是：

正方形的边长为√(5+2√2)a。 

刚才取舍根的条件写错了。

LoveyAG  的答案和我的是一样的，但是他的问题在于：如何证明 APQ在一条直线上；没有关于这一点的证明，那AM就不能保证过点P，当然也就不能用勾股定理来求出AD的长了。

用余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosα和正余弦平方和为1(sinα)^2+(cosα)^2=1,cos(90-α)=sinα可以计算，最后解方程即可，具体你自己计算一下吧，初中应该学过正余弦定理的啊

用余弦定理