考研数学线代相似矩阵的一道题,有大神帮解答下吗?给个过程吧,答案没看懂。第9题。谢谢了

2025-05-11 00:23:26
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回答1:

n 阶矩阵 A 的元素全部为 1, 则其秩 r(A) = 1,
矩阵 A 只有 1 个非零特征值,其余 n-1 个特征值均为 0.
矩阵特征值之和等于矩阵的迹,即对角元之和,则非零特征值是 n
对于λ = n, λE-A = nE-A ,特征向量 是 ξ1 = (1, 1, 1, ......, 1, 1)^T
对于λ = 0, λE-A = - A ,特征向量 是 ξ2 = (-1, 1, 0,......, 0, 0)^T,
ξ3 = (0, -1, 1,......, 0, 0)^T, ......, ξn = (0, 0, 0,......, -1, 1)^T,
P = (ξ1, ξ2, ... ξn), ∧ = diag(n, 0, 0, ..., 0)
则 P^(-1)AP = ∧