如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．（1）DE与半圆O相切

2025-05-08 14:52:13

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回答1：

（1）DE与半圆O相切．
证明：连接OD，BD，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠BDA=∠BDC=90°．
∵在Rt△BDC中，E是BC边上的中点，
∴DE=BE=

BC，得∠EBD=∠BDE．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，故DE与半圆O相切．

（2）∵BD⊥AC，
∴Rt△ABD ∽ Rt△ACB．
∴

．
即AB² =AD?AC．
∴AC=

A B 2

．
∵AD，AB的长是方程x² -10x+24=0的两个根，
∴解方程得x₁ =4，x₂ =6．
∵AD＜AB，
∴AD=4，AB=6．
∴AC=

A B 2

6 2

=9．
又∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=9，
∴BC=

A C 2 -A B 2

81-36

．

（3）问题1：求四边形ABED的面积；
问题2：求两个弓形的面积；
问题3：求

：

的值．