我酒我酒 > 已知点M（3，-2）及圆C：x2+y2-2x-4y+1=0．（Ⅰ）求过点M的圆C的切线方程；（Ⅱ）过点M作直线l圆C交于A，

已知点M（3，-2）及圆C：x2+y2-2x-4y+1=0．（Ⅰ）求过点M的圆C的切线方程；（Ⅱ）过点M作直线l圆C交于A，

2025-05-08 15:55:16

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回答1：

（Ⅰ）由圆C：x²+y²-2x-4y+1=0，得（x-1）²+（y-2）²=4，
∴圆C的圆心坐标C（1，2），半径为2，
当过点M的圆C的切线的斜率不存在时，圆的切线方程为x=3；
当过点M的圆C的切线的斜率存在时，
设过点M的圆C的切线方程为y+2=k（x-3），即kx-y-3k-2=0．
由题意得：

|k?2?3k?2|

k2+1

＝2，解得k=-

．
∴过点M的圆C的切线方程为?

x?y?3×(?

)?2＝0，即3x+4y-1=0．
综上，过点M的圆C的切线方程为x=3或3x+4y-1=0；
（Ⅱ）设N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
(x1?1)2+(y1?2)2＝4 ①，
(x2?1)2+(y2?2)2＝4 ②，
两式作差得：

y1?y2

x1?x2

＝?

x1+x2?2

y1+y2?4

x?1

y?2

．
∴

y+4

x?3

＝

x?1

y?2

．
整理得：x²+y²-4x-2y+11=0．